Pieskares vienādojuma formula. Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Personiskās informācijas aizsardzība

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir sniegta no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi parasti tiek atrisināti, izmantojot formulas. Atgādināšu, ka vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi ir:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ir atrodamais leņķis,
a ir jebkurš skaitlis.

Un šeit ir formulas, ar kurām jūs varat nekavējoties pierakstīt šo vienkāršāko vienādojumu risinājumus.

Sinusam:

Kosinusam:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pieskarei:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Kotangensam:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Patiesībā šī ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas teorētiskā daļa. Turklāt viss!) Nekas. Tomēr kļūdu skaits šajā tēmā vienkārši nav redzams. It īpaši, ja piemērs nedaudz atšķiras no veidnes. Kāpēc?

Jā, jo daudzi cilvēki pieraksta šīs vēstules, vispār nesaprotot to nozīmi! Viņš pieraksta piesardzīgi, lai kaut kas nenotiktu...) Tas ir jāsakārto. Galu galā trigonometrija cilvēkiem vai cilvēki trigonometrijai!?)

Izdomāsim?

Viens leņķis būs vienāds ar Arccos a, otrais: -arccos a.

Un tas vienmēr izdosies šādi. Jebkuram A.

Ja neticat man, novietojiet peles kursoru virs attēla vai pieskarieties attēlam planšetdatorā.) Es mainīju numuru. A uz kaut ko negatīvu. Lai nu kā, mums ir viens stūris Arccos a, otrais: -arccos a.

Tāpēc atbildi vienmēr var uzrakstīt kā divas sakņu sērijas:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Apvienosim šīs divas sērijas vienā:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Un tas arī viss. Esam ieguvuši vispārīgu formulu vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma risināšanai ar kosinusu.

Ja saproti, ka tā nav kaut kāda virszinātniska gudrība, bet tikai divu atbilžu sēriju saīsināta versija, Tāpat varēsi tikt galā ar uzdevumiem “C”. Ar nevienādībām, ar sakņu atlasi no dotā intervāla... Tur atbilde ar plus/mīnusu neder. Bet, ja jūs atbildēsit uz atbildi lietišķi un sadalīsiet to divās atsevišķās atbildēs, viss atrisināsies.) Patiesībā tāpēc mēs to izskatām. Kas, kā un kur.

Vienkāršākajā trigonometriskajā vienādojumā

sinx = a

mēs arī iegūstam divas sakņu sērijas. Vienmēr. Un šīs divas sērijas var arī ierakstīt vienā rindā. Tikai šī rinda būs sarežģītāka:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Bet būtība paliek nemainīga. Matemātiķi vienkārši izstrādāja formulu, lai izveidotu vienu, nevis divus sakņu sēriju ierakstus. Tas ir viss!

Pārbaudīsim matemātiķus? Un nekad nevar zināt...)

Iepriekšējā nodarbībā tika detalizēti apspriests trigonometriskā vienādojuma ar sinusu risinājums (bez formulām):

Atbilde radīja divas sakņu sērijas:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ja mēs atrisinām to pašu vienādojumu, izmantojot formulu, mēs saņemam atbildi:

x = (-1) n loksns 0,5 + π n, n ∈ Z

Patiesībā šī ir nepabeigta atbilde.) Studentam tas ir jāzina arcsin 0,5 = π /6. Pilnīga atbilde būtu:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Tas rada interesantu jautājumu. Atbildēt, izmantojot x 1; x 2 (šī ir pareizā atbilde!) un caur vientuļajiem X (un šī ir pareizā atbilde!) - vai tie ir viens un tas pats vai nē? Mēs to tagad uzzināsim.)

Mēs atbildē aizstājam ar x 1 vērtības n =0; 1; 2; utt., mēs saskaitām, mēs iegūstam virkni sakņu:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 un tā tālāk.

Ar tādu pašu aizstāšanu, atbildot ar x 2 , mēs iegūstam:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 un tā tālāk.

Tagad aizstāsim vērtības n (0; 1; 2; 3; 4...) vienkāršā vispārīgajā formulā X . Tas ir, mēs paaugstinām mīnus viens līdz nulles jaudai, pēc tam uz pirmo, otro utt. Nu, protams, otrajā vietā mēs aizstājam 0; 1; 2 3; 4 utt. Un mēs skaitām. Mēs iegūstam sēriju:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 un tā tālāk.

Tas ir viss, ko jūs varat redzēt.) Vispārējā formula sniedz mums tieši tādi paši rezultāti tāpat kā abas atbildes atsevišķi. Tikai viss uzreiz, kārtībā. Matemātiķi netika maldināti.)

Var pārbaudīt arī formulas trigonometrisko vienādojumu risināšanai ar tangensu un kotangensu. Bet mēs to nedarīsim.) Tie jau ir vienkārši.

Es speciāli izrakstīju visu šo aizstāšanu un pārbaudi. Šeit ir svarīgi saprast vienu vienkāršu lietu: ir formulas elementāru trigonometrisko vienādojumu risināšanai, tikai īss atbilžu kopsavilkums.Šim īsumam mums bija jāievieto plus/mīnus kosinusa šķīdumā un (-1) n sinusa šķīdumā.

Šie ieliktņi nekādā veidā neiejaucas uzdevumos, kur vienkārši jāpieraksta atbilde uz elementāru vienādojumu. Bet, ja jums ir jāatrisina nevienlīdzība vai arī jums ir jādara kaut kas ar atbildi: atlasiet intervāla saknes, pārbaudiet ODZ utt., šie ievietojumi var viegli satraukt cilvēku.

Tātad, kas man jādara? Jā, vai nu uzrakstiet atbildi divās sērijās, vai arī atrisiniet vienādojumu/nevienādību, izmantojot trigonometrisko apli. Tad šie iestarpinājumi pazūd un dzīve kļūst vieglāka.)

Mēs varam apkopot.

Lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, ir gatavas atbilžu formulas. Četri gabali. Tie ir piemēroti, lai uzreiz pierakstītu vienādojuma risinājumu. Piemēram, jums ir jāatrisina vienādojumi:

sinx = 0,3

Viegli: x = (-1) n loksn 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nekādu problēmu: x = ± loki 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Viegli: x = arktāns 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Viens palicis: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ja jūs, spīdot ar zināšanām, uzreiz uzrakstiet atbildi:

x= ± loki 1,8 + 2π n, n ∈ Z

tad jau tu spīdi, tas ir... tas... no peļķes.) Pareizā atbilde: risinājumu nav. Nesaprotu kāpēc? Izlasiet, kas ir loka kosinuss. Turklāt, ja sākotnējā vienādojuma labajā pusē ir sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenta tabulas vērtības, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 un tā tālāk. - atbilde caur arkām būs nepabeigta. Arkas jāpārvērš radiānos.

Un, ja jūs saskaraties ar nevienlīdzību, piemēram

tad atbilde ir:

x πn, n ∈ Z

ir retas muļķības, jā...) Šeit jums jāatrisina, izmantojot trigonometrisko apli. Ko mēs darīsim attiecīgajā tēmā.

Tiem, kas varonīgi izlasa šīs rindas. Es vienkārši nevaru nenovērtēt jūsu titāniskos centienus. Bonuss jums.)

Bonuss:

Rakstot formulas satraucošā kaujas situācijā, pat pieredzējuši nerdi bieži apjūk, kur πn, Un kur 2π n. Šeit ir vienkāršs triks. In visi formulas vērts πn. Izņemot vienīgo formulu ar loka kosinusu. Tas tur stāv 2πn. Divas peen. Atslēgvārds - divi.Šajā pašā formulā ir divi zīme sākumā. Pluss un mīnuss. Šeit un tur - divi.

Tātad, ja jūs rakstījāt divi zīmi pirms loka kosinusa, ir vieglāk atcerēties, kas notiks beigās divi peen. Un tas notiek arī otrādi. Persona palaidīs garām zīmi ± , nonāk līdz galam, raksta pareizi divi Pien, un viņš nāks pie prāta. Kaut kas ir priekšā divi paraksties! Cilvēks atgriezīsies sākumā un izlabos kļūdu! Kā šis.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi ir vienādojumi

Cos (x) = a, grēks (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a

Vienādojums cos(x) = a

Paskaidrojums un pamatojums

1. Vienādojuma saknes cosx = a. Kad | a | > 1 vienādojumam nav sakņu, jo | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 vai pie a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Ļaujiet | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervālā funkcija y = cos x samazinās no 1 līdz -1. Bet dilstoša funkcija katru savu vērtību ņem tikai vienā definīcijas apgabala punktā, tāpēc vienādojumam cos x = a šajā intervālā ir tikai viena sakne, kas pēc arkosīna definīcijas ir vienāds ar: x 1 = arccos a (un šai saknei cos x = A).

Kosinuss ir pāra funkcija, tātad uz intervāla [-n; 0] vienādojums cos x = un arī tam ir tikai viena sakne - skaitlis pretī x 1, tas ir

x 2 = -arccos a.

Tādējādi uz intervāla [-n; p] (garums 2p) vienādojums cos x = a ar | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkcija y = cos x ir periodiska ar periodu 2n, tāpēc visas pārējās saknes atšķiras no tām, kuras atrod ar 2n (n € Z). Iegūstam šādu formulu vienādojuma cos x = a kad saknēm

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Īpaši vienādojuma cosx = a risināšanas gadījumi.

Ir lietderīgi atcerēties īpašus apzīmējumus vienādojuma cos x = a kad saknēm

a = 0, a = -1, a = 1, ko var viegli iegūt, izmantojot vienību apli kā atsauci.

Tā kā kosinuss ir vienāds ar vienības apļa atbilstošā punkta abscisu, mēs iegūstam, ka cos x = 0 tad un tikai tad, ja vienības apļa atbilstošais punkts ir punkts A vai punkts B.

Līdzīgi, cos x = 1 tad un tikai tad, ja atbilstošais vienības apļa punkts ir punkts C, tāpēc

x = 2πп, k € Z.

Arī cos x = -1 tad un tikai tad, ja vienību apļa attiecīgais punkts ir punkts D, tātad x = n + 2n,

Vienādojums sin(x) = a

Paskaidrojums un pamatojums

1. Saknes vienādojumam sinx = a. Kad | a | > 1 vienādojumam nav sakņu, jo | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 vai pie a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Jūs varat pasūtīt detalizētu risinājumu savai problēmai!!!

Vienādību, kas satur nezināmo zem trigonometriskās funkcijas zīmes (`sin x, cos x, tan x` vai `ctg x`), sauc par trigonometrisko vienādojumu, un tālāk tiks aplūkotas to formulas.

Vienkāršākie vienādojumi ir “sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, kur “x” ir atrodamais leņķis, bet “a” ir jebkurš skaitlis. Pierakstīsim katrai no tām saknes formulas.

1. Vienādojums "sin x=a".

`|a|>1` tam nav risinājumu.

Kad `|a| \leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Vienādojums cos x=a

`|a|>1` - tāpat kā sinusa gadījumā, tam nav atrisinājumu starp reāliem skaitļiem.

Kad `|a| \leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Īpaši gadījumi sinusam un kosinusam grafikos.

3. Vienādojums “tg x=a”.

Ir bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Vienādojums “ctg x=a”.

Ir arī bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formulas trigonometrisko vienādojumu saknēm tabulā

Sinusam:
Kosinusam:
Pieskarei un kotangensei:
Formulas vienādojumu risināšanai, kas satur apgrieztas trigonometriskās funkcijas:

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes

Jebkura trigonometriskā vienādojuma atrisināšana sastāv no diviem posmiem:

• ar palīdzību pārveidojot to uz visvienkāršāko;
• atrisināt vienkāršāko vienādojumu, kas iegūts, izmantojot iepriekš uzrakstītās saknes formulas un tabulas.

Apskatīsim galvenās risinājuma metodes, izmantojot piemērus.

Algebriskā metode.

Šī metode ietver mainīgā lieluma aizstāšanu un aizstāšanu ar vienādību.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

veiciet nomaiņu: "cos(x+\frac \pi 6)=y", pēc tam "2y^2-3y+1=0",

mēs atrodam saknes: `y_1=1, y_2=1/2`, no kurām izriet divi gadījumi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atbilde: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizācija.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `sin x+cos x=1`.

Risinājums. Pārvietosim visus vienādības nosacījumus pa kreisi: `sin x+cos x-1=0`. Izmantojot , mēs pārveidojam un faktorizējam kreiso pusi:

"sin x — 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. "cos x/2-sin x/2=0", "tg x/2=1", "x/2=arctg 1+ \pi n", "x/2=\pi/4+ \pi n" , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Atbilde: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Pirmkārt, jums ir jāsamazina šis trigonometriskais vienādojums vienā no divām formām:

`a sin x+b cos x=0` (pirmās pakāpes homogēns vienādojums) vai `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

Pēc tam sadaliet abas daļas ar "cos x \ne 0" — pirmajā gadījumā un ar "cos^2 x\ne 0" — otrajā gadījumā. Mēs iegūstam `tg x` vienādojumus: `a tg x+b=0` un `a tg^2 x + b tg x +c =0`, kas jāatrisina, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Risinājums. Labajā pusē rakstīsim kā `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Šis ir homogēns otrās pakāpes trigonometriskais vienādojums, tā kreiso un labo pusi sadalām ar `cos^2 x \ne 0`, iegūstam:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0'. Ieviesīsim aizstāšanu “tg x=t”, kā rezultātā tiek iegūts “t^2 + t – 2=0”. Šī vienādojuma saknes ir `t_1=-2` un `t_2=1`. Pēc tam:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Atbilde. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Pāreja uz pusleņķi

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Risinājums. Izmantosim dubultā leņķa formulas, iegūstot: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

“4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0”.

Izmantojot iepriekš aprakstīto algebrisko metodi, mēs iegūstam:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z'.

Atbilde. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Palīgleņķa ieviešana

Trigonometriskajā vienādojumā “a sin x + b cos x =c”, kur a,b,c ir koeficienti un x ir mainīgais, abas puses dala ar “sqrt (a^2+b^2)”.

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Koeficientiem kreisajā pusē ir sinusa un kosinusa īpašības, proti, to kvadrātu summa ir vienāda ar 1 un to moduļi nav lielāki par 1. Apzīmēsim tos šādi: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tad:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Apskatīsim tuvāk šādu piemēru:

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Risinājums. Sadalot abas vienādības puses ar `sqrt (3^2+4^2)`, iegūstam:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Apzīmēsim `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Tā kā `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tad kā palīgleņķi ņemam `\varphi=arcsin 4/5`. Tad mēs rakstām savu vienādību formā:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Piemērojot sinusa leņķu summas formulu, mēs rakstām savu vienādību šādā formā:

"sin (x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Atbilde. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Daļēji racionālie trigonometriskie vienādojumi

Tās ir vienādības ar daļām, kuru skaitītāji un saucēji satur trigonometriskas funkcijas.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Risinājums. Reiziniet un sadaliet vienādības labo pusi ar (1+cos x)”. Rezultātā mēs iegūstam:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Ņemot vērā, ka saucējs nevar būt vienāds ar nulli, mēs iegūstam `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Pielīdzināsim daļskaitļa skaitītāju nullei: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Pēc tam “sin x=0” vai “1-sin x=0”.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Ņemot vērā, ka ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, risinājumi ir `x=2\pi n, n \in Z` un `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Atbilde. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometrija un jo īpaši trigonometriskie vienādojumi tiek izmantoti gandrīz visās ģeometrijas, fizikas un inženierzinātņu jomās. Mācības sākas 10. klasē, Vienotajam valsts eksāmenam vienmēr ir uzdevumi, tāpēc mēģini atcerēties visas trigonometrisko vienādojumu formulas – tās tev noteikti noderēs!

Tomēr jums tie pat nav jāiegaumē, galvenais ir saprast būtību un prast to atvasināt. Tas nav tik grūti, kā šķiet. Pārliecinies pats, noskatoties video.