Érintőegyenlet képlete. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Személyes adatok védelme

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a matematika egységes államvizsga sikeres letételéhez szükséges 60-65 ponttal. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket általában képletekkel oldják meg. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x a keresendő szög,
a tetszőleges szám.

És itt vannak azok a képletek, amelyekkel azonnal felírhatod ezeknek a legegyszerűbb egyenleteknek a megoldásait.

A szinuszhoz:

A koszinuszhoz:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Érintőhöz:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

A kotangenshez:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Valójában ez a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának elméleti része. Ráadásul mindent!) Egyáltalán semmit. Az ebben a témában előforduló hibák száma azonban egyszerűen lemaradt a listáról. Főleg, ha a példa kissé eltér a sablontól. Miért?

Igen, mert sokan leírják ezeket a leveleket, anélkül, hogy megértené a jelentésüket!Óvatosan írja le, nehogy valami történjen...) Ezt rendezni kell. Trigonometria az embereknek, vagy emberek a trigonometria számára!?)

Kitaláljuk?

Egy szög egyenlő lesz arccos a, második: -arccos a.

És ez mindig így fog menni. Bármilyen A.

Ha nem hiszi, vigye az egeret a kép fölé, vagy érintse meg a képet a táblagépén.) Megváltoztattam a számot A valami negatívra. Mindenesetre megvan az egyik sarkunk arccos a, második: -arccos a.

Ezért a válasz mindig két gyöksorozatként írható fel:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Kössük össze ezt a két sorozatot egybe:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

És ennyi. Kaptunk egy általános képletet a legegyszerűbb koszinuszos trigonometrikus egyenlet megoldására.

Ha megérted, hogy ez nem valamiféle tudományfeletti bölcsesség, hanem csak két válaszsorozat rövidített változata, A „C” feladatokat is képes lesz kezelni. Egyenlőtlenségekkel, adott intervallumból való gyök kiválasztásával... Ott a plusz/mínuszos válasz nem működik. De ha üzletszerűen kezeli a választ, és két külön válaszra bontja, akkor minden megoldódik.) Valójában ezért vizsgáljuk. Mit, hogyan és hol.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletben

sinx = a

két gyökérsort is kapunk. Mindig. És ezt a két sorozatot fel is lehet venni egy sorban. Csak ez a sor lesz trükkösebb:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

De a lényeg ugyanaz marad. A matematikusok egyszerűen olyan képletet készítettek, amely a gyöksorozatok két bejegyzése helyett egyet ad. Ez minden!

Ellenőrizzük a matematikusokat? És sosem lehet tudni...)

Az előző leckében részletesen tárgyaltuk a szinuszos trigonometrikus egyenlet megoldását (képletek nélkül):

A válasz két gyökérsorozatot eredményezett:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ha ugyanazt az egyenletet a képlet segítségével oldjuk meg, a választ kapjuk:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Valójában ez egy befejezetlen válasz.) A tanulónak tudnia kell ezt arcsin 0,5 = π /6. A teljes válasz a következő lenne:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Ez egy érdekes kérdést vet fel. Válasz ezen keresztül x 1; x 2 (ez a helyes válasz!) és a magányon keresztül x (és ez a helyes válasz!) - ugyanaz a dolog vagy sem? Most megtudjuk.)

A válaszban helyettesítjük ezzel x 1 értékeket n =0; 1; 2; stb., számolunk, akkor egy sor gyökérsorozatot kapunk:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 stb.

Ugyanazzal a helyettesítéssel válaszul x 2 , kapunk:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 stb.

Most cseréljük be az értékeket n (0; 1; 2; 3; 4...) az egyes általános képletébe x . Vagyis a mínusz egyest a nulla hatványra emeljük, majd az elsőre, a másodikra ​​stb. Nos, természetesen behelyettesítjük a 0-t a második tagba; 1; 2 3; 4 stb. És számolunk. Megkapjuk a sorozatot:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 stb.

Csak ennyit láthat.) Az általános képlet azt adja nekünk pontosan ugyanazok az eredmények ahogy a két válasz külön-külön is. Mindent egyszerre, sorrendben. A matematikusokat nem tévesztették meg.)

A trigonometrikus egyenletek érintővel és kotangenssel történő megoldására szolgáló képletek is ellenőrizhetők. De nem fogjuk.) Ezek már egyszerűek.

Ezt a teljes helyettesítést és ellenőrzést kifejezetten kiírtam. Itt fontos megérteni egy egyszerű dolgot: vannak képletek az elemi trigonometrikus egyenletek megoldására, csak a válaszok rövid összefoglalása. Ehhez a rövidséghez a koszinusz-oldatba plusz/mínusz, a szinusz-oldatba pedig (-1) n-t kellett beszúrnunk.

Ezek a betétek semmilyen módon nem zavarnak olyan feladatokat, ahol csak egy elemi egyenletre kell felírni a választ. De ha meg kell oldania egy egyenlőtlenséget, vagy tennie kell valamit a válasszal: válasszon ki gyököket egy intervallumon, ellenőrizze az ODZ-t stb., ezek a beillesztések könnyen elbizonytalaníthatják az embert.

Szóval mit tegyek? Igen, vagy írja le a választ két sorozatban, vagy oldja meg az egyenletet/egyenlőtlenséget a trigonometrikus kör segítségével. Aztán ezek a betétek eltűnnek, és az élet könnyebbé válik.)

Összegezhetjük.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására kész válaszképletek állnak rendelkezésre. Négy darab. Arra jók, hogy azonnal leírják egy egyenlet megoldását. Például meg kell oldania a következő egyenleteket:

sinx = 0,3

Könnyen: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nincs mit: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Könnyen: x = arctán 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Egy maradt: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ha tudástól ragyogva, azonnal írd meg a választ:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

akkor már ragyogsz, ez... az... tócsából.) Helyes válasz: nincsenek megoldások. Nem értem miért? Olvassa el, mi az arc koszinusz. Ezenkívül, ha az eredeti egyenlet jobb oldalán szinusz, koszinusz, érintő, kotangens táblázatos értékei vannak, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 stb. - a válasz az íveken keresztül befejezetlen lesz. Az íveket radiánra kell konvertálni.

És ha egyenlőtlenséggel találkozol, pl

akkor a válasz:

x πn, n ∈ Z

ritka hülyeségek vannak, igen...) Itt a trigonometrikus kör segítségével kell megoldani. Mit fogunk tenni a megfelelő témában.

Azoknak, akik hősiesen elolvassák ezeket a sorokat. Egyszerűen nem tudom nem értékelni a titáni erőfeszítéseiteket. Bónusz neked.)

Bónusz:

Amikor egy riasztó harci helyzetben formulákat írunk le, még a tapasztalt nebulók is gyakran összezavarodnak, hogy hol πn, És hol 2π n. Íme egy egyszerű trükk az Ön számára. Ban ben mindenki képletek érdemes πn. Kivéve az egyetlen képletet, amelynek ív koszinusza van. Ott áll 2πn. Kettő peen. Kulcsszó - kettő. Ugyanebben a képletben vannak kettő jele az elején. Plusz és mínusz. Itt-ott - kettő.

Szóval ha írtál kettő jel az ív koszinusz előtt, könnyebb megjegyezni, mi fog történni a végén kettő peen. És ez fordítva is megtörténik. A személynek hiányozni fog a jel ± , a végére ér, helyesen ír kettő Pien, és magához tér. Van valami előtte kettő jel! Az ember visszatér az elejére és kijavítja a hibát! Mint ez.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek az egyenletek

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Egyenlet cos(x) = a

Magyarázat és indoklás

1. A cosx = a egyenlet gyökei. Mikor | a | > 1 az egyenletnek nincs gyöke, mivel | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 vagy a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Legyen | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Az intervallumon az y = cos x függvény 1-ről -1-re csökken. De egy csökkenő függvény minden értékét csak a definíciós tartományának egy pontján veszi fel, ezért a cos x = a egyenletnek csak egy gyöke van ezen az intervallumon, amely az arccosine definíciója szerint egyenlő: x 1 = arccos a (és ehhez a gyökhöz cos x = A).

A koszinusz páros függvény, tehát a [-n; 0] a cos x = egyenletnek, és szintén csak egy gyöke van - az x 1-gyel szemben álló szám, azaz

x 2 = -arccos a.

Így a [-n; p] (2p hossz) cos x = a egyenlet | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Az y = cos x függvény periodikus 2n periódussal, ezért az összes többi gyök eltér a 2n által talált gyököktől (n € Z). A következő képletet kapjuk a cos x = a mikor egyenlet gyökére

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. A cosx = a egyenlet megoldásának speciális esetei.

Hasznos megjegyezni a cos x = a mikor egyenlet gyökeinek speciális jelöléseit

a = 0, a = -1, a = 1, ami könnyen megkapható az egységkör referenciaként való felhasználásával.

Mivel a koszinusz egyenlő az egységkör megfelelő pontjának abszcisszájával, akkor és csak akkor kapjuk meg, hogy cos x = 0, ha az egységkör megfelelő pontja A vagy B pont.

Hasonlóképpen, cos x = 1 akkor és csak akkor, ha az egységkör megfelelő pontja C pont, ezért

x = 2πп, k € Z.

Cos x = -1 is akkor és csak akkor, ha az egységkör megfelelő pontja D pont, így x = n + 2n,

Sin(x) egyenlet = a

Magyarázat és indoklás

1. A sinx = a egyenlet gyökei. Mikor | a | > 1 az egyenletnek nincs gyöke, mivel | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 vagy a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Problémájára részletes megoldást rendelhet!!!

A trigonometrikus függvény (`sin x, cos x, tan x` vagy `ctg x`) előjele alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőséget trigonometrikus egyenletnek nevezzük, és ezek képleteit vizsgáljuk meg a továbbiakban.

A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.

1. `sin x=a` egyenlet.

Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.

Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. "cos x=a" egyenlet

Az `|a|>1` - mint a szinusz esetében - nincs megoldása valós számok között.

Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban.

3. "tg x=a" egyenlet

Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` egyenlet

Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

A trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei a táblázatban

A szinuszhoz:
A koszinuszhoz:
Tangenshez és kotangenshez:
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll:

• a legegyszerűbbre való átalakítás segítségével;
• oldja meg a fent leírt gyökképletek és táblázatok segítségével kapott legegyszerűbb egyenletet.

Nézzük meg a fő megoldási módszereket példák segítségével.

Algebrai módszer.

Ez a módszer magában foglalja egy változó lecserélését és egyenlőségbe való behelyettesítését.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,

megtaláljuk a gyököket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizáció.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.

Megoldás. Mozgassuk az egyenlőség összes tagját balra: `sin x+cos x-1=0`. Használatával a bal oldalt transzformáljuk és faktorizáljuk:

"sin x — 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukálás homogén egyenletre

Először is le kell redukálnia ezt a trigonometrikus egyenletet a két alak egyikére:

`a sin x+b cos x=0` (elsőfokú homogén egyenlet) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).

Ezután ossza el mindkét részt `cos x \ne 0` -val - az első esetben, és "cos^2 x \ne 0" - a második esetben. Egyenleteket kapunk a `tg x`-re: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Megoldás. Írjuk a jobb oldalt a következőképpen: `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ez egy homogén másodfokú trigonometrikus egyenlet, bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Vezessük be a `tg x=t` helyettesítést, ami `t^2 + t - 2=0`-t eredményez. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Menj a fél sarokba

Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Megoldás. Alkalmazzuk a kettős szögképleteket, aminek eredménye: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0".

A fent leírt algebrai módszert alkalmazva a következőket kapjuk:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Segédszög bevezetése

Az „a sin x + b cos x =c” trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig egy változó, mindkét oldalt ossza el „sqrt (a^2+b^2)”-vel:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzeteinek összege 1, moduljaik pedig nem nagyobbak 1-nél. Jelöljük őket a következőképpen: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, akkor:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Nézzük meg közelebbről a következő példát:

Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.

Megoldás. Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, így kapjuk:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Jelöljük `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, akkor a `\varphi=arcsin 4/5`-t vesszük segédszögnek. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

"sin (x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Törtracionális trigonometrikus egyenletek

Ezek olyan tört egyenlőségek, amelyek számlálói és nevezői trigonometrikus függvényeket tartalmaznak.

Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlőség jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Figyelembe véve, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Tegyük egyenlővé a tört számlálóját nullával: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometriát és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, az egységes államvizsgához mindig vannak feladatok, ezért próbálja meg emlékezni a trigonometrikus egyenletek összes képletére - ezek biztosan hasznosak lesznek az Ön számára!

Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg az, hogy megértsük a lényeget és le tudjuk vezetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg róla Ön is a videó megtekintésével.