Tangenttiyhtälön kaava. Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Henkilötietojen suojaaminen

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai viranomaisten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Videokurssi “Get an A” sisältää kaikki aiheet, joita tarvitaan matematiikan yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija tai humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Unified State Exam -kokeen nopeat ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Selkeät selitykset monimutkaisille käsitteille. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ratkaistaan yleensä kaavoilla. Haluan muistuttaa, että yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x on löydettävä kulma,
a on mikä tahansa luku.

Ja tässä ovat kaavat, joilla voit heti kirjoittaa näiden yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisut.

Sinille:

Kosinille:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Tangentille:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Kotangentille:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Itse asiassa tämä on yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisen teoreettinen osa. Lisäksi kaikki!) Ei mitään. Tämän aiheen virheiden määrä on kuitenkin yksinkertaisesti poissa kaavioista. Varsinkin jos esimerkki poikkeaa hieman mallista. Miksi?

Kyllä, koska monet ihmiset kirjoittavat näitä kirjeitä, ymmärtämättä niiden merkitystä ollenkaan! Hän kirjoittaa muistiin varoen, ettei jotain tapahdu...) Tämä täytyy selvittää. Trigonometria ihmisille tai ihmiset trigonometrialle!?)

Otetaanpa selvää?

Yksi kulma on yhtä suuri kuin arccos a, toinen: -arccos a.

Ja näin tulee aina käymään. Mille tahansa A.

Jos et usko minua, vie hiiri kuvan päälle tai kosketa kuvaa tablet-laitteellasi.) Vaihdoin numeroa A johonkin negatiiviseen. Joka tapauksessa, meillä on yksi kulma arccos a, toinen: -arccos a.

Siksi vastaus voidaan aina kirjoittaa kahdeksi juurisarjaksi:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ja siinä kaikki. Olemme saaneet yleisen kaavan yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi kosinilla.

Jos ymmärrät, että tämä ei ole jonkinlaista ylitieteellistä viisautta, vaan vain lyhennetty versio kahdesta vastaussarjasta, Pystyt myös hoitamaan C-tehtäviä. Epäyhtälöillä, juurien valinnalla tietystä intervallista... Siellä vastaus plus/miinus ei toimi. Mutta jos käsittelet vastausta asiallisesti ja jaat sen kahdeksi erilliseksi vastaukseksi, kaikki ratkeaa.) Itse asiassa, siksi tutkimme asiaa. Mitä, miten ja missä.

Yksinkertaisimmassa trigonometrisessa yhtälössä

sinx = a

saamme myös kaksi sarjaa juuria. Aina. Ja nämä kaksi sarjaa voidaan myös äänittää yhdellä rivillä. Vain tämä rivi on hankalampi:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mutta olemus pysyy samana. Matemaatikot yksinkertaisesti suunnittelivat kaavan tehdäkseen yhden syötteen kahden sijasta juurisarjoille. Siinä kaikki!

Tarkastetaanko matemaatikot? Eikä koskaan tiedä...)

Edellisellä oppitunnilla käsiteltiin yksityiskohtaisesti sinin kanssa tehdyn trigonometrisen yhtälön ratkaisua (ilman kaavoja):

Vastaus johti kahteen juurisarjaan:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jos ratkaisemme saman yhtälön kaavalla, saamme vastauksen:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Itse asiassa tämä on keskeneräinen vastaus.) Opiskelijan on tiedettävä se arcsin 0,5 = π /6. Täydellinen vastaus olisi:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Tämä herättää mielenkiintoisen kysymyksen. Vastaa kautta x 1; x 2 (tämä on oikea vastaus!) ja yksinäisyyden kautta X (ja tämä on oikea vastaus!) - ovatko ne sama asia vai eivät? Selvitämme nyt.)

Korvaamme vastauksessa x 1 arvot n =0; 1; 2; jne., laskemme, saamme sarjan juuria:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ja niin edelleen.

Samalla korvauksella vastauksena x 2 , saamme:

x2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ja niin edelleen.

Korvataan nyt arvot n (0; 1; 2; 3; 4...) yksittäisen yleiseen kaavaan X . Eli nostetaan miinus yksi nollatehoon, sitten ensimmäiseen, toiseen jne. Tietysti korvaamme 0:n toiseen termiin; 1; 2 3; 4 jne. Ja laskemme. Saamme sarjan:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ja niin edelleen.

Siinä on kaikki mitä näet.) Yleinen kaava antaa meille täsmälleen samat tulokset samoin kuin kaksi vastausta erikseen. Kaikki kerralla, järjestyksessä. Matemaatikkoja ei huijattu.)

Kaavat trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tangentin ja kotangentin kanssa voidaan myös tarkistaa. Mutta emme tee.) Ne ovat jo yksinkertaisia.

Kirjoitin kaiken tämän korvaamisen ja tarkistuksen erikseen. Tässä on tärkeää ymmärtää yksi yksinkertainen asia: perustrigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen on kaavoja, vain lyhyt yhteenveto vastauksista. Tämän lyhyyden vuoksi meidän piti lisätä plus/miinus kosiniratkaisuun ja (-1) n siniratkaisuun.

Nämä lisäykset eivät millään tavalla häiritse tehtäviä, joissa sinun tarvitsee vain kirjoittaa vastaus alkeisyhtälöön. Mutta jos sinun on ratkaistava epäyhtälö tai sitten sinun on tehtävä jotain vastauksella: valitse juuret väliltä, tarkista ODZ jne., nämä lisäykset voivat helposti häiritä henkilöä.

Eli mitä minun pitäisi tehdä? Kyllä, joko kirjoita vastaus kahteen sarjaan tai ratkaise yhtälö/epäyhtälö trigonometrisen ympyrän avulla. Sitten nämä lisäykset katoavat ja elämästä tulee helpompaa.)

Voimme tiivistää.

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa valmiita vastauskaavoja. Neljä kappaletta. Ne sopivat yhtälön ratkaisun kirjoittamiseen välittömästi muistiin. Esimerkiksi sinun on ratkaistava yhtälöt:

sinx = 0,3

Helposti: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Ei ongelmaa: x = ± kaaret 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Helposti: x = arctaani 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Yksi jäljellä: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Jos sinä loistat tiedosta, kirjoitat vastauksen välittömästi:

x= ± kaaret 1,8 + 2π n, n ∈ Z

silloin sinä jo loistat, tämä on... tuo... lätäköstä.) Oikea vastaus: ei ole ratkaisuja. Etkö ymmärrä miksi? Lue mikä on kaarikosini. Lisäksi, jos alkuperäisen yhtälön oikealla puolella on taulukkoarvot sinistä, kosinista, tangentista, kotangentista, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ja niin edelleen. - vastaus holvien läpi jää kesken. Kaaret on muutettava radiaaneiksi.

Ja jos kohtaat eriarvoisuutta, esim

niin vastaus on:

x πn, n ∈ Z

on harvinaista hölynpölyä, kyllä...) Tässä sinun on ratkaistava trigonometrisen ympyrän avulla. Mitä teemme vastaavassa aiheessa.

Niille, jotka lukevat sankarillisesti näitä rivejä. En voi muuta kuin arvostaa titaanisia ponnistelujasi. Bonus sinulle.)

Bonus:

Kun kirjoitat kaavoja hälyttävässä taistelutilanteessa, kokeneetkin nörtit hämmentyvät usein missä πn, Ja missä 2π n. Tässä on sinulle yksinkertainen temppu. Sisään kaikille arvoiset kaavat πn. Paitsi ainoa kaava, jossa on kaarikosininen. Se seisoo siellä 2πn. Kaksi peen. Avainsana - kaksi. Tässä samassa kaavassa on kaksi merkki alussa. Plussaa ja miinusta. Siellä sun täällä - kaksi.

Jos siis kirjoitit kaksi merkki ennen kaarikosinia, on helpompi muistaa, mitä lopussa tapahtuu kaksi peen. Ja tapahtuu myös toisinpäin. Henkilö kaipaa merkkiä ± , menee loppuun, kirjoittaa oikein kaksi Pien, ja hän tulee järkiinsä. Jotain on edessä kaksi merkki! Henkilö palaa alkuun ja korjaa virheen! Kuten tämä.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöt

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Yhtälö cos(x) = a

Selitys ja perustelut

Yhtälön cosx = a juuret. Milloin | a | > 1 yhtälöllä ei ole juuria, koska | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 tai klo a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Anna | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Välillä funktio y = cos x pienenee arvosta 1 arvoon -1. Mutta laskeva funktio ottaa jokaisen arvonsa vain yhdestä pisteestä määrittelyalueellaan, joten yhtälöllä cos x = a on vain yksi juuri tällä välillä, joka arkosiinin määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin: x 1 = arccos a (ja tälle juurelle cos x = A).

Kosini on parillinen funktio, joten välissä [-n; 0] yhtälö cos x = ja sillä on myös vain yksi juuri - luku, joka on vastapäätä x 1, eli

x 2 = -arccos a.

Siten välillä [-n; p] (pituus 2p) yhtälö cos x = a jossa | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funktio y = cos x on jaksollinen jaksolla 2n, joten kaikki muut juuret eroavat 2n:n löytämistä (n € Z). Saamme seuraavan kaavan yhtälön cos x = a milloin juurille

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

Erikoistapaukset yhtälön cosx = a ratkaisemiseksi.

On hyödyllistä muistaa erityiset merkinnät yhtälön cos x = a when juurille

a = 0, a = -1, a = 1, joka saadaan helposti käyttämällä yksikköympyrää viitteenä.

Koska kosini on yhtä suuri kuin yksikköympyrän vastaavan pisteen abskissa, saadaan, että cos x = 0, jos ja vain jos yksikköympyrän vastaava piste on piste A tai piste B.

Vastaavasti cos x = 1 jos ja vain jos yksikköympyrän vastaava piste on piste C, joten

x = 2πп, k € Z.

Myös cos x = -1 jos ja vain jos yksikköympyrän vastaava piste on piste D, eli x = n + 2nn,

Yhtälö sin(x) = a

Selitys ja perustelut

Yhtälön sinx = a juuret. Milloin | a | > 1 yhtälöllä ei ole juuria, koska | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 tai klo a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Voit tilata yksityiskohtaisen ratkaisun ongelmaasi!!!

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion merkin alla (`sin x, cos x, tan x` tai `ctg x`), kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja niiden kaavoja tarkastellaan edelleen.

Yksinkertaisimmat yhtälöt ovat "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", missä "x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjataan ylös kunkin niistä juurikaavat.

1. Yhtälö "sin x=a".

Kohdalle `|a|>1` ei ole ratkaisuja.

Kun `|a| \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Yhtälö cos x=a

`|a|>1` - kuten sinin tapauksessa, sillä ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa.

Kun `|a| \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sinin ja kosinin erikoistapaukset kaavioissa.

3. Yhtälö tg x=a

Siinä on ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Yhtälö "ctg x=a".

Siinä on myös ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinille:
Kosinille:
Tangentille ja kotangentille:
Kaavat käänteisiä trigonometrisiä funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen koostuu kahdesta vaiheesta:

muuntamalla se yksinkertaisimmaksi;
ratkaise yksinkertaisin yhtälö yllä kirjoitetuilla juurikaavoilla ja taulukoilla.

Katsotaanpa tärkeimpiä ratkaisumenetelmiä esimerkkien avulla.

Algebrallinen menetelmä.

Tämä menetelmä sisältää muuttujan korvaamisen ja sen korvaamisen yhtäläisyydellä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tee korvaus: `cos(x+\frac \pi 6)=y, sitten `2y^2-3y+1=0`,

löydämme juuret: `y_1=1, y_2=1/2`, joista seuraa kaksi tapausta:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastaus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisointi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `sin x+cos x=1`.

Ratkaisu. Siirretään kaikki yhtälön ehdot vasemmalle: `sin x+cos x-1=0`. Käyttämällä , muunnamme ja kerroimme vasemman puolen:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

"sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastaus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Ensin sinun on vähennettävä tämä trigonometrinen yhtälö johonkin kahdesta muodosta:

"a sin x+b cos x=0" (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat arvolla "cos x \ne 0" - ensimmäisessä tapauksessa ja "cos^2 x \ne 0" - toisessa tapauksessa. Saamme yhtälöt `tg x`:lle: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Ratkaisu. Kirjoita oikea puoli muotoon `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

"sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0".

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, jaamme sen vasemman ja oikean puolen `cos^2 x \ne 0`, saamme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Otetaan käyttöön korvaus `tg x=t`, jolloin tuloksena on `t^2 + t - 2=0`. Tämän yhtälön juuret ovat `t_1=-2` ja `t_2=1`. Sitten:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Vastaus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z'.

Mene puolikulmaan

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Ratkaisu. Sovelletaan kaksoiskulmakaavoja, jolloin tuloksena on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0".

Käyttämällä yllä kuvattua algebrallista menetelmää saamme:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z'.

Apukulman esittely

Trigonometrisessa yhtälössä "a sin x + b cos x =c", jossa a,b,c ovat kertoimia ja x on muuttuja, jaa molemmat puolet arvolla "sqrt (a^2+b^2)":

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Vasemmalla puolella olevilla kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, eli niiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin 1 ja niiden moduulit eivät ole suurempia kuin 1. Merkitään ne seuraavasti: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, sitten:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tarkastellaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `3 sin x+4 cos x=2`.

Ratkaisu. Jaa tasa-arvon molemmat puolet `sqrt:llä (3^2+4^2)`, saamme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Merkitään `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Koska `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, otamme `\varphi=arcsin 4/5` apukulmaksi. Sitten kirjoitamme yhtäläisyytemme muodossa:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Käyttämällä kaavaa sinin kulmien summalle kirjoitamme yhtäläisyytemme seuraavassa muodossa:

"sin (x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtolukujen kanssa, joiden osoittajat ja nimittäjät sisältävät trigonometrisiä funktioita.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. \frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Ratkaisu. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli `(1+cos x)`:lla. Tuloksena saamme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Ottaen huomioon, että nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, saamme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Yhdistäkäämme murtoluvun osoittaja nollaan: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Sitten "sin x=0" tai "1-sin x=0".

"sin x=0", "x=\pi n", "n \in Z".
"1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

Ottaen huomioon, että ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ratkaisut ovat `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , "n \in Z".

Vastaus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään lähes kaikilla geometrian, fysiikan ja tekniikan aloilla. Opiskelu alkaa 10. luokalla, yhtenäistettyyn valtionkokeeseen on aina tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - niistä on varmasti hyötyä sinulle!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes opetella niitä ulkoa, tärkeintä on ymmärtää ydin ja pystyä johtamaan se. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä näyttää. Katso itse katsomalla video.