Формула за допирателно уравнение. Най-простите тригонометрични уравнения. Защита на личната информация

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Най-простите тригонометрични уравнения се решават, като правило, с помощта на формули. Нека ви напомня, че най-простите тригонометрични уравнения са:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

x е ъгълът, който трябва да се намери,
a е произволно число.

А ето и формулите, с които можете веднага да запишете решенията на тези най-прости уравнения.

За синус:

За косинус:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

За допирателната:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

За котангенс:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Всъщност това е теоретичната част от решаването на най-простите тригонометрични уравнения. Освен това всичко!) Изобщо нищо. Въпреки това, броят на грешките по тази тема е просто извън класациите. Особено ако примерът леко се отклонява от шаблона. Защо?

Да, защото много хора пишат тези писма, без изобщо да разбират значението им!Пише предпазливо, да не би да стане нещо...) Това трябва да се изясни. Тригонометрия за хората или все пак хора за тригонометрията!?)

Да го разберем?

Един ъгъл ще бъде равен на arccos a, второ: -arccos a.

И винаги ще се получава по този начин.За всякакви А.

Ако не ми вярвате, задръжте курсора на мишката върху снимката или докоснете снимката на таблета си.) Промених номера А към нещо негативно. Както и да е, имаме един ъгъл arccos a, второ: -arccos a.

Следователно отговорът винаги може да бъде записан като две серии от корени:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Нека комбинираме тези две серии в една:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

И това е всичко. Получихме обща формула за решаване на най-простото тригонометрично уравнение с косинус.

Ако разбирате, че това не е някаква свръхнаучна мъдрост, а просто съкратена версия на две серии от отговори,Ще можете да се справите и със задачи „C“. С неравенства, с избиране на корени от даден интервал... Там отговорът с плюс/минус не работи. Но ако се отнасяте към отговора по делови начин и го разделите на два отделни отговора, всичко ще бъде решено.) Всъщност, затова го разглеждаме. Какво, как и къде.

В най-простото тригонометрично уравнение

sinx = а

ние също получаваме две серии от корени. Винаги. И тези две серии също могат да бъдат записани в един ред. Само този ред ще бъде по-сложен:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но същността си остава същата. Математиците просто създадоха формула, за да направят един вместо два записа за поредица от корени. Това е всичко!

Да проверим математиците? И никога не се знае...)

В предишния урок беше обсъдено подробно решението (без никакви формули) на тригонометрично уравнение със синус:

Отговорът доведе до две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ако решим същото уравнение с помощта на формулата, получаваме отговора:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Всъщност това е недовършен отговор.) Ученикът трябва да знае това arcsin 0,5 = π /6.Пълният отговор би бил:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Това повдига интересен въпрос. Отговорете чрез x 1; х 2 (това е верният отговор!) и чрез самотен х (и това е верният отговор!) - едно и също нещо ли са или не? Сега ще разберем.)

Заменяме в отговора с х 1 стойности н =0; 1; 2; и т.н., броим, получаваме поредица от корени:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и така нататък.

Със същата замяна в отговор с х 2 , получаваме:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и така нататък.

Сега нека заместим стойностите н (0; 1; 2; 3; 4...) в общата формула за единичен х . Тоест, повдигаме минус едно на нулева степен, след това на първа, втора и т.н. Е, разбира се, заместваме 0 във втория член; 1; 2 3; 4 и т.н. И ние броим. Получаваме серията:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така нататък.

Това е всичко, което можете да видите.) Общата формула ни дава абсолютно същите резултатикакто и двата отговора поотделно. Просто всичко наведнъж, подредено. Математиците не бяха заблудени.)

Могат да се проверят и формули за решаване на тригонометрични уравнения с тангенс и котангенс. Но ние няма.) Те вече са прости.

Написах специално цялата тази замяна и проверка. Тук е важно да разберете едно просто нещо: има формули за решаване на елементарни тригонометрични уравнения, само кратко резюме на отговорите.За тази краткост трябваше да вмъкнем плюс/минус в решението за косинус и (-1) n в решението за синус.

Тези вложки не пречат по никакъв начин в задачи, в които просто трябва да запишете отговора на елементарно уравнение. Но ако трябва да разрешите неравенство или тогава трябва да направите нещо с отговора: изберете корени на интервал, проверете за ODZ и т.н., тези вмъквания могат лесно да обезпокоят човек.

И така, какво трябва да направя? Да, или напишете отговора в две серии, или решете уравнението/неравенството с помощта на тригонометричната окръжност. Тогава тези вмъквания изчезват и животът става по-лесен.)

Можем да обобщим.

За решаване на най-простите тригонометрични уравнения има готови формули за отговор. Четири броя. Те са добри за незабавно записване на решението на уравнение. Например, трябва да решите уравненията:

sinx = 0,3

Лесно: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Няма проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Лесно: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Остава един: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ако вие, блестящи със знания, незабавно напишете отговора:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

тогава вече блестиш, това е... онова... от локва.) Верен отговор: няма решения. не разбирам защо? Прочетете какво е аркосинус. Освен това, ако от дясната страна на оригиналното уравнение има таблични стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и така нататък. - отговорът през арките ще бъде недовършен. Арките трябва да се преобразуват в радиани.

И ако срещнете неравенство, например

тогава отговорът е:

x πn, n ∈ Z

има редки глупости, да...) Тук трябва да решите с помощта на тригонометричната окръжност. Какво ще правим в съответната тема.

За тези, които героично четат тези редове. Просто не мога да не оценя титаничните ви усилия. Бонус за вас.)

Бонус:

Когато записват формули в тревожна бойна ситуация, дори опитни маниаци често се объркват къде πn, И къде 2π n. Ето един прост трик за вас. в всекиформули на стойност πn. С изключение на единствената формула с аркосинус. Стои там 2πn. двепеен. ключова дума - две.В същата тази формула има двезнак в началото. Плюс и минус. Тук-там - две.

Така че, ако сте писали двезнак преди аркосинуса, по-лесно е да запомните какво ще се случи накрая двепеен. И това се случва и обратното. Човекът ще пропусне знака ± , стига до края, пише правилно две Pien, и той ще дойде на себе си. Има нещо напред двезнак! Човекът ще се върне в началото и ще поправи грешката! Като този.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Най-простите тригонометрични уравнения са уравненията

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a

Уравнение cos(x) = a

Обяснение и обосновка

1. Корените на уравнението cosx = a. Когато | a | > 1 уравнението няма корени, тъй като | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 или при а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Нека | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. На интервала функцията y = cos x намалява от 1 на -1. Но намаляващата функция приема всяка от своите стойности само в една точка от своя домейн на дефиниция, следователно уравнението cos x = a има само един корен в този интервал, който по дефиниция на аркосинус е равен на: x 1 = arccos a (и за този корен cos x = A).

Косинусът е четна функция, така че на интервала [-n; 0] уравнението cos x = и също има само един корен - числото срещу x 1, т.е

x 2 = -arccos a.

Така на интервала [-n; p] (дължина 2p) уравнение cos x = a с | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функцията y = cos x е периодична с период 2n, следователно всички останали корени се различават от тези, намерени с 2n (n € Z). Получаваме следната формула за корените на уравнението cos x = a, когато

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Специални случаи на решаване на уравнението cosx = a.

Полезно е да запомните специални обозначения за корените на уравнението cos x = a, когато

a = 0, a = -1, a = 1, което може лесно да се получи, като се използва единичната окръжност като еталон.

Тъй като косинусът е равен на абсцисата на съответната точка от единичната окръжност, получаваме, че cos x = 0 тогава и само ако съответната точка от единичната окръжност е точка A или точка B.

По същия начин, cos x = 1, ако и само ако съответната точка на единичната окръжност е точка C, следователно,

x = 2πп, k € Z.

Също така cos x = -1 ако и само ако съответната точка на единичната окръжност е точка D, следователно x = n + 2nn,

Уравнение sin(x) = a

Обяснение и обосновка

1. Корените на уравнението sinx = a. Когато | a | > 1 уравнението няма корени, тъй като | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 или при а< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и техните формули ще разгледаме по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи на синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синус:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• с помощта на трансформирането му в най-простия;
• решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.

Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

Алгебричен метод.

Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половината ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Нека приложим формулите за двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Нека означим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробни рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.